Краткая мысль о теореме Гёделя, доказательствах от противного и

Почему доказательство от противного может быть не совсем корректным?

Smirik

8 месяцев назад

Telegram Подписывайтесь на канал в Telegram

Я тут "переварил" некоторую мысль, недавно услышанную, и наложил её на математику. Получилось немного странно и страшно...

Вводные:

  1. В математике есть понятие "непротиворечивости": система утверждений называется непротиворечивой, если из неё нельзя вывести два противоречащих друг другу суждения. Например, система аксиом "все бобры едят людей" и "все бобры не едят людей" будет очевидно противоречивой.
  2. Принцип дихотомии: любое высказывание может быть либо истинным, либо ложным.
  3. Теорема Гёделя (в упрощённом и немного некорректном виде): в непротиворечивой системе аксиом всегда будут утверждения, истинность или ложность которых невозможно определить.
  4. Принцип доказательства "от противного". Пусть мы хотим доказать некое утверждение X. Вместо того, чтобы доказывать его истинность ("прямое" доказательство), мы предположим, что X — ложно. Если путём дальнейших рассуждений мы придём к какому-то противоречию, то, значит, наш исходный посыл, что X — ложно, был неверен. А, значит, X не может быть ложным.

    Такой тип доказательств используется очень часто и в геометрии, и в других областях математики (например, при доказательстве того, что корень из двух — не рациональное число).

Суть заметки:

Доказательство "от противного" нельзя вообще использовать. Попробуем это обосновать.

  1. Как мы доказываем от противного? Мы предполагаем, что доказываемое утверждение Х — ложно ("предположение"). Если мы приходим к противоречию, то, значит, наше исходное предположение было ложно.
  2. Большинство разделов математики базируется на арифметике.
  3. Доказано, что арифметика непротиворечива.
  4. Значит, по теореме Гёделя в арифметике имеются высказывания, чью истинность или ложность доказать невозможно.
  5. Таким образом, получается, что существует три группы высказываний: истинные, ложные и те-которые-ХЗ.
  6. В доказательстве от противного мы убеждаемся, что исходное предположение "Х — ложно" неверно.
  7. Однако это не означает, что раз "Х — ложно" неверно, то обязательно Х должно быть истинно.
  8. По пункту 5 это, строго говоря, означает, что либо Х — истинно, либо истинность Х доказать невозможно.
  9. Последний вариант также возможен, поэтому в доказательстве от противного его надо исключать. А никто этого не делает. Бида...
Автор: Smirik

Опубликовано 8 месяцев назад

Оставьте первый комментарий


Smirik © 2019 — 2020.